Столкновение тел. абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары

Количество движения

Перед рассмотрением абсолютно упругого и неупругого удара необходимо дать определение величине, которая известна, как количество движения. Ее принято обозначать латинской буквой p. Вводится в физику она просто: это произведение массы на линейную скорость движения тела, то есть имеет место формула:

Это векторная величина, но для простоты она записана в скалярной форме. В данном понимании количество движения рассматривалось Галилеем и Ньютоном в XVII веке.

Эта величина не выводится. Ее появление в физике связано с интуитивным пониманием наблюдаемых в природе процессов. Например, каждый хорошо представляет, что остановить лошадь, которая бежит со скоростью 40 км/ч, гораздо тяжелее, чем муху, летящую с той же скоростью.

Расчет коэффициента восстановления для «прыгающего» тела

В зависимости от характера удара, коэффициент K может существенно отличаться. Рассмотрим, как можно его рассчитать, для случая «прыгающего» тела, например, футбольного мяча.

Сначала мяч держат на некоторой высоте h над поверхностью земли. Затем его отпускают. Он падает на поверхность, отскакивает от нее и поднимается на некоторую высоту h, которую фиксируют. Поскольку скорость поверхности земли до и после ее соударения с мячом была равна нулю, то формула для коэффициента будет иметь вид:

Здесь v₂=0 и u₂=0. Знак минус исчез, потому что скорости v₁ и u₁ направлены противоположно. Поскольку падение и подъем мяча является движением равноускоренным и равнозамедленным, то для него справедлива формула:

Выражая скорость, подставляя значения начальной высоты и после отскока мяча в формулу для коэффициента K, получим конечное выражение: K = √(h/h).

Реальный удар

Установка для исследований

На практике для расчета сил взаимодействия применяют простую установку. Она предназначена для изучения видов ударов двух шаров. Установка представляет собой треножник на трех винтах, которые позволяют выставить его по горизонтали. На треножнике расположена центральная стойка, к верхнему концу которой прикрепляют специальные подвесы для шаров. На штанге закреплен электромагнит, притягивающий и удерживающий в начале эксперимента в отклоненном состоянии один из шаров (ударный шар).

Величину начального угла отклонения этого шара (коэффициент α) можно определить по расходящейся в обе стороны дугообразной шкале. Величина ее искривления соответствует траектории перемещения взаимодействующих шаров.

Понятие о механическом ударе в физике

Теперь пришло время перейти к рассмотрению абсолютно упругого и неупругого ударов. Под механическим ударом в физике понимают одновременное взаимодействие двух или более твердых тел, в результате которого происходит обмен энергией и количеством движения между ними.

Основными особенностями удара являются большие действующие силы и малые промежутки времени их приложения. Часто удар характеризуют величиной ускорения, выраженной в виде g для Земли. Например, запись 30*g, говорит, что в результате столкновения сила сообщила телу ускорение 30*9,81 = 294,3 м/с2.

Частными случаями столкновения являются абсолютный упругий и неупругий удары (последний также называют эластичным или пластичным). Рассмотрим, что они собой представляют.

Абсолютно упругое столкновение

Решим две задачи на упругий и неупругий удар шаров. В этом пункте рассмотрим первый вид столкновения. Так как законы энергии и импульса в этом случае соблюдаются, то запишем соответствующую систему из двух уравнений:

Эта система используется для решения любых задач с любыми начальными условиями. В данном примере ограничимся частным случаем: пусть массы m₁ и m₂ двух шаров равны. Кроме того, начальная скорость второго шара v₂ равна нулю. Необходимо определить результат центрального упругого столкновения рассматриваемых тел.

С учетом условия задачи, перепишем систему:

Подставляем второе выражение в первое, получаем:

Раскрываем скобки:

Последнее равенство справедливо, если одна из скоростей u₁ или u₂ равна нулю. Вторая из них не может быть нулевой, поскольку при попадании первого шара во второй, он неминуемо начнет двигаться. Это означает, что u₁ = 0, а u₂ > 0.

Таким образом при упругом столкновении движущегося шара с покоящимся, массы которых одинаковы, первый передает свой импульс и энергию второму.

Реальный удар

При реальном соударении тел наблюдаются промежуточные варианты между случаем абсолютно упругого удара — отскока, и случаем абсолютно неупругого удара — слипания соударяющихся тел.

Степень близости соударения к случаю абсолютно упругого удара характеризуют коэффициентом восстановления k{\displaystyle k}.
При k={\displaystyle k=0} удар является абсолютно неупругим, при k=1{\displaystyle k=1} удар является абсолютно упругим.

Пример для соударения

Пусть u1,u2{\displaystyle u_{1},u_{2}} — скорости тел до удара, v1,v2{\displaystyle v_{1},v_{2}} — скорости тел после удара, k{\displaystyle k} -коэффициент восстановления, S{\displaystyle S} — полный импульс удара. Тогда:

v1=u1−(1+k)m2m1+m2(u1−u2){\displaystyle v_{1}=u_{1}-(1+k){\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}(u_{1}-u_{2})},

v2=u2+(1+k)m1m1+m2(u1−u2){\displaystyle v_{2}=u_{2}+(1+k){\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}(u_{1}-u_{2})},

S=(1+k)m1m2m1+m2(u1−u2){\displaystyle S=(1+k){\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}(u_{1}-u_{2})}.

Потеря кинетической энергии T{\displaystyle T} при ударе:

T=(1−k2)m1m2m1+m2(u1−u2)22=1−k1+km1(u1−v1)22+m2(u2−v2)22{\displaystyle T=(1-k^{2}){\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\frac {(u_{1}-u_{2})^{2}}{2}}={\frac {1-k}{1+k}}\left}.

Для абсолютно неупругого удара k={\displaystyle k=0}: T=m1(u1−v1)22+m2(u2−v2)22{\displaystyle T={\frac {m_{1}(u_{1}-v_{1})^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}(u_{2}-v_{2})^{2}}{2}}}, то есть потерянная кинетическая энергия равна кинетической энергии потерянных скоростей, что следует из теоремы Карно.

Для абсолютно упругого удара k=1{\displaystyle k=1} T={\displaystyle T=0}. Значения коэффициента восстановления для некоторых материалов приведены в таблице.

Кроме того, при реальном ударе макроскопических тел происходит деформация соударяющихся тел и распространение по ним упругих волн, передающих взаимодействие от сталкивающихся границ по всему телу.

Пусть сталкиваются одинаковые тела. Если c — скорость звука в теле, L — характерный размер каждого тела, то время удара будет порядка t=2Lc{\displaystyle t=2L/c} — двукратному прохождению волны деформации вдоль линии соударения, что учтено множителем 2 соответствующем распространению волны в прямом и обратном направлении.

Систему сталкивающихся тел можно считать замкнутой, если импульс силы внешних сил за время соударения мал по сравнению с импульсами тел.

Кроме того, само время соударения должно быть достаточно мало, иначе при рассмотрении трудно оценить потери энергии на упругую деформацию за время удара, и при этом часть энергии расходуется на внутреннее трение, а само описание сталкивающихся тел становится сложным из-за существенного вклада внутренних колебательных степеней свободы.

В приведенном анализе необходимо, чтобы линейные деформации тел при ударе были существенно меньше, чем собственные размеры тел.

Идеальные виды ударов

Упругие и неупругие удары тел являются идеализированными случаями. Первый из них (упругий) означает, что при столкновении двух тел не создается никакой остаточной деформации. Когда одно тело сталкивается с другим, то в некоторый момент времени происходит деформация обоих объектов в области их контакта. Эта деформация служит механизмом передачи энергии (количества движения) между объектами. Если она является абсолютно упругой, то после удара никаких потерь энергии не происходит. В этом случае говорят о сохранении кинетической энергии взаимодействующих тел.

Второй вид ударов (пластический или абсолютно неупругий) означает, что после соударения одного тела о другое, они «слипаются» друг с другом, поэтому после удара оба объекта начинают двигаться как единое целое. В результате этого удара некоторая часть кинетической энергии расходуется на деформацию тел, трение, выделение тепла. При этом виде соударения энергия не сохраняется, но количество движения остается неизменным.

Упругий и неупругий удары — это идеальные частные случаи столкновения тел. В реальной жизни характеристики всех столкновений не относятся ни к одному из этих двух видов.

Процесс исследования

Вначале подготавливается пара шаров: в зависимости от заданий берутся упругие, неупругие либо два разноплановых шара. В специальную таблицу записываются массы шаров.

Затем к электромагниту пристыковывается ударный элемент. По шкале определяют угол отклонения нити. Затем электромагнит отключают, он теряет притягивающие свойства, и шар по дуге устремляется вниз, сталкиваясь со вторым, свободным, неподвижно висящим шаром, который в результате импульса (удара) отклоняется на определенный угол. Величину отклонения фиксируют по второй шкале.

Абсолютно упругий удар рассчитывается на основании данных эксперимента. Для подтверждения правдивости законов сохранения импульса и энергии при упругом и неупругом ударах двух шаров определяют их скорости до и после столкновения. В основу положен баллистический метод измерения скорости движения шаров по величине их отклонения. Эта величина отсчитывается по шкалам, изготовленным в виде дуг окружности.

Навигация

Понятие о механическом ударе в физике

Теперь пришло время перейти к рассмотрению абсолютно упругого и неупругого ударов. Под механическим ударом в физике понимают одновременное взаимодействие двух или более твердых тел, в результате которого происходит обмен энергией и количеством движения между ними.

Основными особенностями удара являются большие действующие силы и малые промежутки времени их приложения. Часто удар характеризуют величиной ускорения, выраженной в виде g для Земли. Например, запись 30*g, говорит, что в результате столкновения сила сообщила телу ускорение 30*9,81 = 294,3 м/с2.

Частными случаями столкновения являются абсолютный упругий и неупругий удары (последний также называют эластичным или пластичным). Рассмотрим, что они собой представляют.

Импульс силы

Количество движения многие называют просто импульсом. Это не совсем верно, поскольку под последним понимают воздействие силы на объект в течение некоторого промежутка времени.

Если сила (F) не зависит от времени ее действия (t), тогда импульс силы (P) в классической механике записывается следующей формулой:

Пользуясь законом Ньютона, перепишем это выражение так:

Здесь a — сообщаемое телу массой m ускорение. Поскольку действующая сила не зависит от времени, то ускорение является постоянной величиной, которая определяется отношением скорости ко времени, то есть:

Мы получили интересный результат: импульс силы равен количеству движения, которое он сообщает телу. Именно поэтому многие физики просто опускают слово «сила» и говорят импульс, имея в виду количество движения.

Записанные формулы также ведут к одному важному выводу: при отсутствии внешних сил любые внутренние взаимодействия в системе сохраняют ее суммарное количество движения (импульс силы равен нулю). Последняя формулировка известна в качестве закона сохранения импульса изолированной системы тел

Абсолютно упругое столкновение

Решим две задачи на упругий и неупругий удар шаров. В этом пункте рассмотрим первый вид столкновения. Так как законы энергии и импульса в этом случае соблюдаются, то запишем соответствующую систему из двух уравнений:

Эта система используется для решения любых задач с любыми начальными условиями. В данном примере ограничимся частным случаем: пусть массы m₁ и m₂ двух шаров равны. Кроме того, начальная скорость второго шара v₂ равна нулю. Необходимо определить результат центрального упругого столкновения рассматриваемых тел.

С учетом условия задачи, перепишем систему:

Подставляем второе выражение в первое, получаем:

Раскрываем скобки:

Последнее равенство справедливо, если одна из скоростей u₁ или u₂ равна нулю. Вторая из них не может быть нулевой, поскольку при попадании первого шара во второй, он неминуемо начнет двигаться. Это означает, что u₁ = 0, а u₂ > 0.

Таким образом при упругом столкновении движущегося шара с покоящимся, массы которых одинаковы, первый передает свой импульс и энергию второму.

Количество движения

Перед рассмотрением абсолютно упругого и неупругого удара необходимо дать определение величине, которая известна, как количество движения. Ее принято обозначать латинской буквой p. Вводится в физику она просто: это произведение массы на линейную скорость движения тела, то есть имеет место формула:

Это векторная величина, но для простоты она записана в скалярной форме. В данном понимании количество движения рассматривалось Галилеем и Ньютоном в XVII веке.

Эта величина не выводится. Ее появление в физике связано с интуитивным пониманием наблюдаемых в природе процессов. Например, каждый хорошо представляет, что остановить лошадь, которая бежит со скоростью 40 км/ч, гораздо тяжелее, чем муху, летящую с той же скоростью.

Импульс силы

Количество движения многие называют просто импульсом. Это не совсем верно, поскольку под последним понимают воздействие силы на объект в течение некоторого промежутка времени.

Если сила (F) не зависит от времени ее действия (t), тогда импульс силы (P) в классической механике записывается следующей формулой:

Пользуясь законом Ньютона, перепишем это выражение так:

Здесь a — сообщаемое телу массой m ускорение. Поскольку действующая сила не зависит от времени, то ускорение является постоянной величиной, которая определяется отношением скорости ко времени, то есть:

Мы получили интересный результат: импульс силы равен количеству движения, которое он сообщает телу. Именно поэтому многие физики просто опускают слово «сила» и говорят импульс, имея в виду количество движения.

Записанные формулы также ведут к одному важному выводу: при отсутствии внешних сил любые внутренние взаимодействия в системе сохраняют ее суммарное количество движения (импульс силы равен нулю). Последняя формулировка известна в качестве закона сохранения импульса изолированной системы тел