Решаем задачу нахождения длины наибольшей возрастающей подпоследовательности

Бизнес и финансы

БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумагиУправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги — контрольЦенные бумаги — оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудитМеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетикаАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

География и климат

Ханс Кристиан Андерсен

Оденсе расположен в северо-восточном центре острова Фюн. Оденсе находится в 45 километрах (28 миль) к северу от Свенборга, в 144 километрах (89 миль) к югу от Орхуса, в 167 километрах (104 мили) к юго-западу от Копенгагена, в 136 километрах (85 миль) к востоку от Эсбьерга и 69 км (43 мили) к юго-востоку от Колдинга. Пригороды Оденсе: Стиге на севере, Седен, Буллеруп и Аэдруп на северо-востоке, Бломменслист на западе, Беллинг на юго-запад и Недер Холлоф и Хёйби на юге. Река Оденсе протекает через Оденсе, к югу от главного торгового квартала. К северу от города находится Оденсе-фьорд, а на северо-востоке по 165-й дороге в Кертеминде находится Кертеминде-фьорд. Доступ к фьорду осуществляется через узкий проход Габец, между Галсом и Сковеном и связан каналом с портом Оденсе.

Оденсе имеет умеренный океанический климат, классифицированный как зона Кёппен Cfb. Мягкое лето характеризуется средними максимальными температурами, превышающими 20 ° C, а зимы характеризуются минимальными температурами, снижающимися чуть ниже нуля. Самые жаркие месяцы в среднем — июль и август с максимальной температурой 21 ° C и среднесуточной температурой 17 ° C. Это также самые влажные месяцы, причем в августе выпадает в среднем 80 мм, а в июле — 64 мм дождя . Экстратропические циклоны часто влияют на регион, что способствует обильным осадкам. Самые холодные месяцы — январь и февраль, с дневной средней температурой 0 ° C и минимумами −2 ° C и −3 ° C соответственно. Ветры с запада и северо-востока могут поднимать уровень воды на 1,8 м (5 футов 11 дюймов), а ветры с востока и юго-запада могут опускать его до 1,5 метров (4 фута 11 дюймов). Данные о климате для города регистрируются в аэропорту Ханса Кристиана Андерсена.

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организацииМуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммыОтчетыпо упоминаниямДокументная базаЦенные бумагиПоложенияФинансовые документыПостановленияРубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датамРегламентыТерминыНаучная терминологияФинансоваяЭкономическаяВремяДаты2015 год2016 годДокументы в финансовой сферев инвестиционной

Задача

Предприимчивая и умелая рукодельница решила подзаработать изготовлением «фенечек» из бисера. Любительница симметрии в искусстве, она использовала в своих орнаментах бусинки разных цветов (будем обозначать цвет целым положительным числом) по следующим правилам:

1) при длине ряда рисунка равной 1 использовала бусинку первого цвета;

2) при длине ряда рисунка равной 3 использовала бусинки двух цветов: 1 2 1;

3) при необходимости добавления в рисунок еще одного цвета строился ряд: 1 2 1 3 1 2 1 и так всякий раз в зависимости от числа используемых цветов, например, при использовании четырех цветов: 1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1 3 1 2 1.

Напишите программу, которая помогла бы автоматизировать подбор цвета бусинки в ряду по её порядковому номеру.

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Глава 1.Числовые последовательности.

1.1. Понятие числовых последовательностей.

Числовая последовательность – это занумерованное числовое множество.

Будем выписывать в порядке возрастания положительные чётные числа. Первое такое число равно 2, второе – 4, третье – 6, четвёртое – 8 и т. д. таким образом, мы получим последовательность:

2; 4; 6; 8; 10 ….

Очевидно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом число – 20, на сотом число – 200. вообще для любого натурального числа n можно указать соответствующее ему положительное чётное число: оно равно 2n, то есть члены последовательности можно найти по формуле f(n)=2n, где n=1,2,…

Рассмотрим ещё одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:

; ; ; ; ; … .

Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую ему дробь; она равна . Так, на шестом месте должна стоять дробь , на тридцатом — , на тысячном – дробь .

Числа образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвёртым и т. д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена.

Например: , , и т. д. вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают . Саму же последовательность обозначают (). Отметим, что последовательность является частным видом функции.

Последовательность может содержать, как бесконечное число членов, так и конечное. В этом случае её называют конечной.

Например: последовательность двухзначных чисел.

10; 11; 12; 13; …; 98; 99

Поскольку всякая числовая последовательность может рассматриваться как функция натурального аргумента, то на числовые последовательности переносятся понятия монотонности функций.

Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый последующий её член больше предыдущего, то есть для любого n.

Например,

Числовая последовательность называется убывающей, если каждый её член меньше предыдущего, то есть для любого n.

Например,

Числовая последовательность называется монотонной, если она убывающая и возрастающая.

1.2 Способы задания числовых последовательностей.

Последовательности можно задавать несколькими способами. Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Наиболее часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена последовательности.

Например: последовательность положительных чётных членов =2n.

Последовательность правильных дробей: =.

Рассмотрим ещё один пример: пусть последовательность задана формулой: =. Подставляем вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, и т. д., получаем:

…

Рассмотрим ещё один способ задания последовательности.

Пример: Пусть первый член последовательности (а) равен 10, а каждый следующий равен квадрату предыдущего, т. е. а=10, а=.

С помощью формулы а= можно по известному первому члену вычислить второй, затем третий и т. д.

Формулу выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной.. При рекуррентном способе задания последовательности обычно указываются:

Начальные(ый) члены последовательности;

Формулу, позволяющую определить любой член последовательности по известным предшествующим.

Так же числовую последовательность можно задать простым перечислением её членов.

Число и цифра 3

А вот в класс зашла моя третья ученица. Угадал?

Это же Симка! Лучшая ученица в школе фиксиков! В моем классе она тоже хорошо учится и прекрасно знает математику. Симка всегда с радостью приходит на выручку своим друзьям. Вот и сегодня она поможет нам познакомиться с новым числом и цифрой.

Симка прекрасно разбирается в технике и может починить практически любой прибор. Сначала они с Ноликом отремонтировали дисковод и рассказали Дим Димычу как надо обращаться с дисками.

Еще они с друзьями починили будильник.

Давай посчитаем, сколько вещей отремонтировали фиксики:

• дисковод – это один;
• будильник – это два.

Всего они починили два предмета.

А потом Симка устранила поломку в холодильнике.

А сколько теперь отремонтированных предметов? Было два, починили еще один и стало три:

• дисковод – один;
• будильник – два;
• холодильник – три.

Всего три предмета.

Число три получается, если к двум добавить еще один. Запомни правило образования числа три.

Симке очень весело со своими друзьями. Когда у них получается все починить, они показывают свой знак «тыдыщ». Присмотрись и посчитай, сколько пальцев они показывают.

Получается три пальца. Наверное, поэтому Симка и любит число три, ведь это ее знак.

Давай проверим, как ты научился считать до трех. Посчитай друзей. 

Правильно, Нолик – один, Дим Димыч – два, Симка – три. А можно посчитать их по порядку:

• Нолик – первый;
• Дим Димыч – второй;
• Симка – третья.

Итак, друзей трое. Фиксики побежали играть, Дим Димыч остался дома.

Сколько фиксиков?

Правильно, два.

Сколько мальчиков?

Один.

Запомни! Число три – это два и один.

Вечером Дим Димыч сидел дома один и скучал. Чтобы его развеселить, к нему прибежали Симка и Нолик.

Запомни! Число три – это один и два.

И еще раз повторим состав числа три.

Давай все закрепим. Выбери картинки, на которых изображено три фиксика.

А теперь посмотри, Мася показывает один палец.

Сколько еще пальцев ей надо поднять, чтобы получился знак «тыдыщ», в котором три пальца?

Правильно, еще два.

Потому что три это один и два!

Пришло время познакомиться с цифрой, которая обозначает число три. Вот она. Это цифра 3.

Она состоит из двух крючков. Симка может сделать цифру 3 из двух компакт-дисков – нужно всего лишь обвести их с правой стороны.

На что еще похожа цифра 3?

На свернутую змею, на крылья бабочки, на лук для стрел.

Поищи цифру 3 среди этих знаков.

Ты уже пробовал изготовлять цифры и пластилина – сделай так же карточку с цифрой 3.

А теперь посмотри, как нужно писать цифру 3 в тетради.

Последовательность написания цифры 3 следующая.

1. Начинаем немного ниже середины верхней границы клетки. Ведем линию вверх и закругляем в правом верхнем углу.
2. Ведем линию в центр клетки.
3. Немного не дописав до центра, разворачиваемся и плавно закругляем второй полуовал в нижнем правом углу.
4. Заканчиваем чуть выше середины нижней границы клетки.

Скачай картинку и потренируйся писать отдельные элементы и цифру 3.

Вот мы и выучили число и цифру 3. Узнали, как оно образуется и какой у него состав.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности (xn){\displaystyle (x_{n})} — это последовательность (xnk){\displaystyle (x_{n_{k}})}, где (nk){\displaystyle (n_{k})} — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

• Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
• Последовательность натуральных чисел, кратных , является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

• Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
• Для всякой подпоследовательности (xkn){\displaystyle (x_{k_{n}})} верно, что ∀n∈Nkn⩾n{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon k_{n}\geqslant n}.
• Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
• Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
• Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
• Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
• Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предел числовой последовательности

Точка, к которой приближаются члены последовательности при увеличении n, называется пределом последовательности. Для последовательности (10) пределом является число 0. Более строго предел последовательности определяется так:

Определение 8. Число k называют пределом последовательности (y_n), если для любой заранее выбранной окресности точки k, можно выбрать такой номер n, чтобы все члены последовательности, начиная с номера n содержались в указанной окрестности.

Если k является пределом последовательности (y_n), то пишут ( стремится к k или сходится к k).

Обозначают это так:

Выраженние (11) читается так: предел проследовательности , при стремлении n к бесконечности равен k.

Изложим некоторые пояснения к определению 8.

Пусть выполнено (11). Возьмем окрестность точки k, т.е. интервал , где радиус этой окрестности ( >0). По определению, существует номер n, начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окресности, т.е.

Если же взять другую окресность (пусть ), то найдется другой номер n₁, начиная с которого, вся последовательность содержится в указанной окрестности, но этот номер будет больше n₁ > n.

Пример 4. Дана полследовательность (y_n):

Доказать, что .

Решение. Найдем любую окрестность точки 0. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n так, чтобы .

Пусть, например, r=0.001. Вычислим n‘ из уравнения

Имеем:

В качестве n берем 501. Имеем:

или

Запишем члены последовательности (12) начиная с номера 501:

Далее, учитывая (13), имеем:

Следовательно, все члены последовательности (12) начиная с номера 501 попадают в окресность . А по определению 8, это означает:

Пример 5. Дана полследовательность (y_n):

Доказать, что .

Решение. Найдем любую окрестность точки 2. Пусть ее радиус равен r. Тогда всегда можно выбирать n так, чтобы

Рашим (15) относительно n:

Получили

Неравенство в (17) всегда выполняется так как n натуральное число, а правая часть неравенства отрицательно (это означает, что для любого n). Из неравенства (16) можно найти номер n, начиная с которого члены последовательности попадают в окресность (2−r; 2+r). Например, пусть r=0.001, тогда . Тогда нужно брать n=2000. И тогда все члены последовательности, начиная с номера 2000 попадают в окрестность (2−r; 2+r).

Запишем члены последовательности, начиная с номера 2000:

Легко проверить, что . Тогда, учитывая, что данная последовательность возрастающая (см. пример 1), получим:

Пример 6. Найти предел последовательности

Решение. Выполним некоторые преобразования выражения (18):

Тогда последовательность (18) можно переписать так:

Как видно из (19), пройдя по членам последовательности слева направо, из числа 1 вычитается все меньшее и меньшее положительное число. Т.е. последовательность приближается к числу 1. Тогда 1 является пределом последовательности (19) и (18):

На Рис. 3 представлена функция . Абсцисы нарисованных точек это номера членов последовательности, а ординаты образуют последовательность (18) (или (19)). Прямая y=1 (горизонтальная пунктирная линия) называется горизонтальной асимптотой. Как видно из Рис.3 последовательность приближается к горизонтальной асимптоте.

Число и цифра 2

А вот наша вторая ученица. Это Феечка. В нашей школе она не только учится волшебству, но и старается освоить математику. Феечка поможет нам познакомиться со следующим числом.

Раньше она была обычной девочкой, которую звали Ванесса. Она очень любила бабочек и выращивала в своем саду цветы, чтобы мотыльки слетались на их чудесный аромат. Сначала вырос один цветок, а потом еще один. И их стало два.

Итак, мы познакомимся с числом два.

Желтый цветок – один, розовый цветок – два. Мы посчитали все цветы в саду. Их два.

Желтый цветок расцвел первым, а розовый – вторым.

Как только цветочки распустились, к ним прилетели бабочки: сначала одна, а потом еще одна. И стало их две.  

Давай пересчитаем всех бабочек: маленькая бабочка – один, большая бабочка – два. Их две. Маленькая бабочка прилетела первой, а большая – второй.

Пара – это два предмета, которые не могут существовать отдельно. У Феечки два больших крылышка (она не сможет летать с одним крылышком). И два маленьких крылышка. Значит у нее пара больших и пара маленьких крыльев.

Посмотри на Ванессу и назови другие пары предметов, которые у нее есть.

Это пара глаз, пара рук. А еще?

Феечка хочет рассказать тебе свое первое волшебное заклятие об образовании числа: два это один и еще один. Считать нужно так: один, два. Можно считать по порядку: первый, второй.

А сейчас проверим, как ты все запомнил. Посмотри на картинку и скажи каких предметов по два.

Давай закрепим.

Скажи, сколько подружек прилетело к Ванессе?

Правильно, одна.

Вспомни, что ты узнал об образовании числа два. А сколько еще должно прийти феечек, чтобы их стало две?

Подумал?

Верно, еще одна!

Потому что два – это один и один!

А как же записать, что на картинке две феи, два цветка или две бабочки?

Чтобы обозначить число два есть цифра 2. Рассмотри ее. Она состоит из крючка и хвостика.

Наша Феечка в этой позе очень похожа на цифру 2.

На что еще похожа цифра 2?

На лебедя, хобот слона и даже на жирафа с длинной шеей.

Взгляни на картинку и найди среди всех знаков цифру 2.

Попробуй сделать цифру 2 из пластилина и рядом прикрепи два предмета. Например, вот так.

Теперь поговорим о написании цифры 2 в тетради.

1. Первый элемент начинаем писать чуть ниже средины верхней границы клеточки. Линию ведем вверх и закругляем в правом верхнем углу.
2. Опускаем линию к средине нижней границы клеточки.
3. Ведем волнистую линию вправо вдоль нижней границы клетки до ее угла.

Распечатай картинку и потренируйся писать элементы и цифру 2.

Вот и все. Мы вместе с Феечкой Ванессой познакомились с числом и цифрой 2.

Решение

Воспользуемся тем, что длина $i$-той строки Фибоначчи будет равна $i$-тому числу Фибоначчи, так как для них справедливо одно и то же рекуррентное соотношение. Заводим массив
fib45; , куда мы вычислим первые ($n ≤ 45$) числа Фибоначчи. Функция
solve(intn,intk)  находит $k$-ый символ строки $F_{n}$: так как $F_{i} = F_{i-2}F_{i-1}$, то если $k ≤ |F_{n-2}|$, то $k$-ый символ строки следует искать в $F_{n-2}$, в другом случае следует искать $(k — F_{n-2})$-ый символ в $F_{n-1}$. Таким образом, постепенно углубляясь в рекурсию, программа будет иметь дело с задачами все меньших размеров, пока наконец не выйдет на одну из единичных строк (
n==  или
n==1 ), и не выведет $a$ или $b$ соответственно.

Способы задания последовательностей

Чтобы задать послед-ть, необходимо указать способ, с помощью которого можно вычислить любой ее член. Проще всего это сделать, записав формулу, в которой в качестве переменной использует номер члена послед-ти n.Такая формула называется формулой n-ого члена последовательности.

Пример. Послед-ть задается формулой а_n = 3n. Выпишите первые пять членов этой послед-ти.

Решение. Чтобы найти первый член послед-ти, то есть а₁, просто подставим в формулу единицу:

Аналогично можно вычислить и следующие четыре члена послед-ти:

Итак, послед-ть имеет вид:

3, 6, 9, 12, 15…

Ответ: 3, 6, 9, 12, 15

Пример:Запишите формулу n-ого члена для послед-ти

1, 3, 5, 7, 9…

состоящей из положительных нечетных чисел.

Решение. Каждое нечетное число можно представить в виде 2n– 1. Тогда получаем:

Получаются как раз члены послед-ти, указанной в условии. Поэтому формула n-ого члена будет выглядеть как а_n = 2n– 1.

Ответ: а_n = 2n– 1.

Стоит обратить внимание, что для вычисления n-ого члена послед-ти НЕ нужно вычислять все предшествующие члены. Пример

Запишите 38-й член послед-ти, заданной формулой аn = 2n2 + 1

Пример. Запишите 38-й член послед-ти, заданной формулой а_n = 2n2 + 1.

Решение. Подставим n = 38 в формулу и получим:

Ответ: 1445

Теперь рассмотрим послед-ть, в которой первые два числа равны единице, а каждый следующий член равен сумме двух предыдущих. Она называется последовательностью Фибоначчи и начинается так:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…

Действительно, по условию, первые два члена – это единица:

а каждый следующий равен сумме предыдущих:

Формулу n-ого члена записать для послед-ти Фибоначчи очень сложно (хотя и возможно). Вместо этого здесь удобнее использовать рекуррентный способ задания последовательности. Записываются первые несколько членов послед-ти, а после дается формула (ее называют рекуррентной), которая позволяет вычислить следующие члены по предыдущим:

При использовании рекуррентного способа для вычисления n-ого члена обычно необходимо вычислить все предыдущие члены послед-ти.

Пример. Найдите пятый член послед-ти, заданной рекуррентной формулой а_n= 3•а_n–1– 1, если а₁ = 2.

Решение. Будем последовательно вычислять все члены послед-ти, вплоть до пятого:

Ответ: 5

Надо понимать, что одну и ту же послед-ть можно задать по-разному. Так, послед-ть четных чисел можно задать формулой n-ого члена а_n = 2n, так и рекуррентной формулой а_n = a_n–1 + 2, если а₁ = 1.

Пример. Дана послед-ть, заданная формулой а_n = n2. Задайте ее рекуррентным способом.

Решение. Сначала вычислим первый член послед-ти:

Чтобы записать рекуррентную формулу, попытаемся найти разницу между членами, имеющими номера n и (n– 1):

Итак, получили равенство

Перенесем в нем слагаемое (– a_{n– 1}) вправо и получим рекуррентную формулу:

Наконец, некоторые послед-тине получается задать ни формулой n-ого члена, ни рекуррентным способом. Их можно только описать. Таковой является, например, послед-ть простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11…

Мы не будем это доказывать, однако не существует такой формулы, которая позволяла бы вычислить n-ое простое число либо по самому числу n, либо по предыдущим простым числам. Действительно, для построения такой послед-ти используют особый алгоритм, известный как . Если бы существовала формула n-ого члена, то потребность в использовании решета Эратосфена отпала бы.

Только усвоенная информация становится знанием. В этом вам помогут онлайн-курсы

Как это выглядит в жизни?

Как указано выше, есть обширный перечень причин, приводящих к гипомнезии. Поэтому и различные ее формы также могут проявляться по-разному, но есть и некоторые общие признаки.

Чаще всего память ослабляется локально, а не генерализированно. Это значит, что одни её функции могут страдать сильно, а другие оставаться невредимыми. Особенно это применимо к способности памяти сохранять и воспроизводить сохранённую информацию. Кроме того, бывают ситуации, когда у больной не может что-то вспомнить, а через какое-то время эта же информация вспоминается с легкостью.

Одним из главных проявлений заболевания являются частые случаи, когда человек что-то говорит своему знакомому, а через некоторое время забывает о том, что именно он говорил.

Поэтому среди общих симптомов гипомнезии выделяют:

• ослабление чувства времени;
• механическая память больше подвержена заболеванию, чем словесно-логическая;
• больному сложно или даже невозможно воспроизвести хронологию вспоминаемых событий;
• новые происшествия запоминаются с большим трудом, чем раньше.

У школьников гипомнезия может проявиться в проблемах с удерживанием в памяти прочитанного или сказанного учителем материала. Дошкольники при этом заболевании плохо запоминают даже короткие стихи.