Последовательность фибоначчи в природе и живом

Как правильно сделать редьку с медом от кашля

Стратегия с использованием Фибо

Торговых стратегий на уровнях Фибоначчи великое множество. Рассмотрим вариант под названием Magic Grid. Это простая консервативная стратегия, которая показывает соотношение прибыли к убыткам 56%. Действия трейдера сводятся к тому, чтобы правильно настроить индикаторы и выставить стоп-приказы, ограничивающие убытки и фиксирующие прибыль.

Для работы используются два индикатора Moving average и сетка Фибоначчи. Метод построения скользящих средних простой (simple), и обе применяются к закрытию свечи (close). У одной будет период 100, у другой — 200. Пересечение этих скользящих скажут о сформировавшемся тренде. Стратегия используется на часовом и 4-часовом таймфрейме.

В терминале Metatrader инструмент сетка называется Линии Фибоначчи. Его нужно будет подкорректировать, добавив уровень 76,4. Делается это следующим способом. Кликнуть 2 раза по сетке, после этого она перейдет в активное состояние. Затем правой кнопкой мыши вызвать меню инструмента. Нужно выбрать “Уровни”. На этой вкладке следует добавить новый уровень — 0,764. В графе “Описание” записать 76,4. Затем нужно сохранить изменения.

В стратегии используются 2 сетки. Поэтому лучше каждую из них помечать своим цветом, чтобы не перепутать уровни. Сделать это можно там же в свойствах инструмента.

Рассмотрим, как торговать по уровням Фибоначчи на примере восходящего тренда.

При пересечении быстрой скользящей с периодом 100 медленную скользящую, устанавливаем наличие бычьего тренда.

Следующим этапом нужно дождаться начала коррекции. Это можно определить по нескольким факторам:

1. Тренд выходит из своего коридора.
2. Верхушки свечей (high) перестают обновляться.
3. Нижние тени свечей стремятся обновить предыдущие тени.
4. Индикаторы RSI, Stochastic могут показывать зону перекупленности.

Нужно построить уровни Фибоначчи, как только началась коррекция тренда. Для этого натягивается сетка № 1 от минимального значения тренда до максимального. Минимум будет точкой “A”, а максимум — точкой “B”.

Как только откат достигнет уровня 38,2 и выше, из точки “B” тянется сетка № 2 в противоположном направлении, то есть в сторону коррекции до ее окончания. Это будет точкой “C”.

Вход в сделку по направлению тренда осуществляется на уровне 76,4 сетки № 2. Первая цель фиксации прибыли устанавливается также по второй сетке на уровне 161,8. Stop loss выставляется ниже точки “C” на несколько пунктов.

В дополнение к этой стратегии можно сказать, что если коррекция не дошла до уровня 38,2, то откат не торгуется. Если цена пробила уровень 76,4, то данная коррекция рассматривается, как медвежий тренд. Точка “В” становится точкой “А”, точка “C” будет точкой”B”. При пробое уровня 76,4, рассматриваются сделки на продажу.

Как использовать золотое сечение в жизни.

В этой статье речь пойдет об очень важном секрете, о котором знают немногие бизнесмены, и незнание которого часто приводит к развалу бизнеса. Есть такие известные понятия, как «золотое сечение» и «числа Фибоначчи».Ряд Фибоначчи – это когда сумма двух предыдущих чисел дает следующее число

Т.е. 0,1,1,2,3,5… и т.д. В природе все построено по этому принципу. Например, если подсчитать веточки дерева, можно убедиться, что с увеличением радиуса кроны их число увеличивается по закону золотого сечения.Прямоугольник с отношением сторон 0.618 и 0.382 — золотой прямоугольник. Если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности.Другой всем знакомый пример — пятиконечная звезда (она же магический символ, пентаграмма), в которой каждая из пяти линий делит другую в точке золотого сечения, а концы звезды являются золотыми треугольниками.Скелет человека также построен по этому закону. Он выдержан в пропорции, близкой к золотому сечению. И чем ближе пропорции к формуле золотого сечения, тем более идеальным выглядит внешность человека. Если расстояние между ступней человека и точкой пупа = 1, то рост человека = 1.618 (разумеется, это в идеале). Число 1.618 и есть коэффициент золотого сечения.Но какое отношение это имеет к бизнесу, деньгам, финансам?! Так вот, самое непосредственное! Закон Фибоначчи и есть та самая формула, по которой добывают богатство во все времена. И все, что вы будете предпринимать в соотношении с числами золотого сечения, будет обречено на успех. И наоборот, игнорирование этого правила приводит к краху. Это своего рода магия денег.Рассмотрим применение закона золотого сечения в бизнесе на практике. Допустим, вы купили ящик апельсинов за 1 доллар (доллар в данном случае условная единица) и продали за 2 доллара. Получили прибыль 100%. Как действовать дальше? Купить на эти 2 доллара еще 2 ящика и продать?НЕТ! Вот это и есть самая распространенная ошибка горе-бизнесменов! Правильно будет, в соответствии с законом золотого сечения, купить еще один ящик, продать с теми же 100% прибыли, и только потом купить 2 ящика. То есть действуем по указанному принципу:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393,196418,317811, Как видим, всего за 32 цикла мы достигли прибыли свыше миллиона! И при этом у нас еще и всегда оставались «лишние» деньги! Кроме того, этот принцип — хорошая страховка от форс-мажорных обстоятельств. Ведь если в самом начале, получив прибыль в 1 доллар и имея 2 доллара на руках и вложив их все сразу, есть риск потерять все. А так у нас доллар в запасе остался, во всяком случае, не в минус уйдем.Особенно важна эта схема при игре на бирже и прочих сравнительно рискованных финансовых операциях. Пример схематичный, его можно адаптировать к прибыли и в 20%, и к любой другой. Используйте в своих расчетах число 1,618 – коэффициент, по которому следует увеличивать финансы, и вам будет сопутствовать успех!Любую деятельность разумно соотносить с принципом золотого сечения. Это самый надежный и безопасный путь. Главное, определиться с единицей измерения. Это может быть время, этапы в работе и т.д. и т.п. Обогащайтесь также поэтапно, согласуя свои шаги с законами природы.

Использование уровней Фибоначчи в трейдинге

Уровни Фибоначчи помогают установить цели движения цены или найти прогнозируемые области поддержки и сопротивления.

К основным уровням, используемым в трейдинге, относятся: 23.6%, 38.2%, 50%, 61.8%, 78.6%, 100%, 161.8%, 261.8%, 423.6%.

Эти соотношения применяются в различных технических индикаторах, использующих коэффициенты Фибоначчи:

• Коррекции Фибоначчи — горизонтальные линии на графике, которые указывают на области поддержки и сопротивления.
• Расширения Фибоначчи — горизонтальные линии на графике, которые указывают, куда может дойти сильная импульсная волна.
• Дуги Фибоначчи — дугообразные линии, построенные относительно локального максимума или минимума, которые представляют собой области поддержки и сопротивления.
• Веера Фибоначчи — диагональные линии, созданные с использованием максимума и минимума, которые представляют собой области поддержки и сопротивления.
• Временные зоны Фибоначчи — вертикальные линии, отложенные в будущее, предназначенные для предсказания того, когда произойдут основные движения цены.

Коррекции Фибоначчи являются наиболее распространенными формами технического анализа, основанными на последовательности Фибоначчи. Во время тренда можно использовать коррекции, чтобы определить, насколько глубоким может быть откат. Импульсные волны — более крупные волны по направлению тренда, в то время как откаты — это более мелкие волны в противоположную от импульсных волн сторону. Так как они являются меньшими волнами, они будут составлять процент от большей волны.

Если цена останавливается около одного из уровней Фибоначчи, а затем начинает двигаться назад в направлении тренда, у трейдера появится возможность совершить сделку по направлению основного тренда. Трейдеры заранее не знают, какой уровень будет разворотным, поэтому необходимо дождаться уровня, на котором остановится и развернется цена, прежде чем заключать сделку.

Дуги, веера, расширения и временные зоны показывает потенциальные области поддержки или сопротивления, основанные на числах Фибоначчи, относительно предыдущих движений цены. Эти уровни поддержки или сопротивления можно использовать для прогнозирования целей, где цена может развернуться в обратную сторону.

Расширения Фибоначчи можно использовать на любом рынке и на любом таймфрейме. Поскольку уровни расширения могут быть нарисованы на разных таймфреймах, необходимо искать области, где несколько уровней из разных волн сходятся на одной цене

Этот уровень может быть очень важной областью, в которой произойдет разворот цены

Исследования золотого сечения в 16-19 веках

Используя золотое сечение и числа Фибоначчи, исследовательскую работу по вопросу о пропорциях продолжают уже не одно столетие. Параллельно с Леонардо да Винчи немецкий художник Альбрехт Дюрер также занимался разработкой теории правильных пропорций тела человека. Для этого им даже был создан специальный циркуль.

В 16 в. вопросу о связи числа Фибоначчи и золотого сечения были посвящены работы астронома И. Кеплера, который впервые применил эти правила для ботаники.

Новое «открытие» ожидало золотое сечение в 19 в. с опубликованием «Эстетического исследования» немецкого ученого профессора Цейзига. Он возвел эти пропорции в абсолют и объявил о том, что они универсальны для всех природных явлений. Им были проведены исследования огромного количества людей, вернее их телесных пропорций (около 2 тыс.), по итогам которых сделаны выводы о статистических подтвержденных закономерностях в соотношениях различных частей тела: длины плеч, предплечий, кистей, пальцев и т.д.

Были исследованы также предметы искусства (вазы, архитектурные сооружения), музыкальные тона, размеры при написании стихотворений — все это Цейзиг отобразил через длины отрезков и цифры, он же ввел термин «математическая эстетика». После получения результатов выяснилось, что получается ряд Фибоначчи.

Золотое сечение

Принцип определения размеров золотого сечения лежит в основе совершенства целого мира и его частей в своей структуре и функциях, его проявление можно видеть в природе, искусстве и технике. Учение о золотой пропорции было заложено в результате исследований древними учеными природы чисел.

В основе его лежит теория о пропорциях и соотношениях делений отрезков, которое было сделано еще древним философом и математиком Пифагором. Он доказал, что при разделении отрезка на две части: X (меньшую) и Y (большую), отношение большего к меньшему будет равно отношению их суммы (всего отрезка):

X : Y = Y : X+Y.

В результате получается уравнение: х2 – х – 1=0, которое решается как х=(1±√5)/2.

Если рассмотреть соотношение 1/х, то оно равно 1,618…

Свидетельства использования древними мыслителями золотой пропорции приведены в книге Эвклида «Начала», написанной еще в 3 в. до н.э., который применял это правило для построения правильных 5-угольников. У пифагорейцев эта фигура считается священной, поскольку является одновременно симметричной и асимметричной. Пентаграмма символизировала жизнь и здоровье.

Как пользоваться Уровнями Фибоначчи на Форекс

0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

Трейдеры используют популярные инструменты:

1. Линии
2. Дуги
3. Веерные линии
4. Временные зоны
5. Расширение

Большинство основных программ для построения графиков включают уровни коррекции Фибоначчи. В некоторых из наиболее «продвинутых» реализованы «дуги», «веерные линии» и временные периоды. Пока мы остановимся на Линиях.

Вот что вам нужно о них знать:

1. На шкале 0–100 соотношения Фибоначчи рассчитываются как 23.6, 38.2, 50.0, 61.8 и 76.4%. Эти соотношения считаются основным индикатором (предсказывающим возможное будущее движение цен), цена часто рикошетит от данных уровней.
2. Индикатор визуализирует эти уровни на графике цены актива и позволяет получить представление о будущем его движении. Если вам нравится ручной режим, то выберите в программе или на графике цен функцию отображения уровней коррекции. Начните с нижней точки тренда и тяните курсор к его верхней точке. Вы увидите пять горизонтальных линий, отражающих уровни 0, 38,2, 50, 60,8 и 100 % движения цены, или длины тренда (в некоторых программах добавляется линия 23,6 %).
3. Эти линии могут действовать в качестве уровней поддержки или сопротивления, в зависимости от того, торгуются ли валютные пары или акции и индексы на фондовом рынке выше или ниже них.
4. Чем с большим таймфреймом вы работаете, тем четче будут срабатывать выставленные уровни.

Таким образом, все что требуется от трейдера – это найти затухающий тренд, правильно выставить ряд Фибоначчи, дождаться подтверждения и открывать ордер. Способов использовать этот числовой ряд в торговле существует множество, в нашем материале будет рассмотрен наиболее универсальный, который поможет получать прибыль на большинстве активов, при умеренной волатильности рынка.

Посмотрите видео – Мастер класс по работе с Фибоначчи на Форекс:

Практическое применение ряда Фибоначчи на валютном рынке

На валютном рынке применяются «уровни Фибоначчи» как одно из средств финансового прогноза. Уровни Фибоначчи составляют расстояния от контрольной точки (КТ), пропорциональные амплитуде и Ф-числам. Как правило, в качестве КТ используется начало тренда, а за амплитуды (максимумы) берется расстояние трендового пути котировки до корректировки. Останавливается корректировка, как правило, оказавшись на определенном уровне. Затем наблюдается следующее трендовое движение (скачок). Итак, уровни Фибоначчи дают возможность специалистам идентифицировать оптимальную точку входа по тренду после корректировки.

На рисунке 3 приведены 2 трендовых движения. По первому скачку смоделированы Ф-уровни Фибоначчи желтого цвета, по 2-му скачку – синего цвета. Отчетливо просматривается начало движения вверх по тренду после отката котировки до самого близкого Ф-уровня. В данной ситуации логично открыть позицию по тренду на уровне 23,6 с Stop Loss на уровне 50.

Рисунок 3. Пример, поясняющий использование Ф-ряда на валютном рынке

Очевидно, что данная уровневая Ф-разметка позволяет торговать даже и против трендового движения. Для реализации подобного всего лишь нужен формальный инструмент для точной идентификации начала корректировки. Таким инструментом является осциллятор, который при обнаружении перекупленности на растущем рынке позволяет спрогнозировать корректировку. При таких обстоятельствах возможно зайти против трендового скачка до очередного Ф-уровня.

Числа Фибоначчи в природе

Сам Фибоначчи упоминал эти числа в связи с такой задачей: «Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?». Решением этой задачи и будут числа последовательности, называемой теперь в его честь. Впрочем, описанная Фибоначчи ситуация — больше игра разума, чем реальная природа.

Индийские математики Гопала и Хемачандра упоминали числа этой последовательности в связи с количеством ритмических рисунков, образующихся в результате чередования долгих и кратких слогов в стихах или сильных и слабых долей в музыке. Число таких рисунков, имеющих в целом долей, равно .

Числа Фибоначчи появляются и в работе Кеплера 1611 года, который размышлял о числах, встречающихся в природе (работа «О шестиугольных снежинках»).

Интересен пример растения — тысячелистника, у которого число стеблей (а значит и цветков) всегда есть число Фибоначчи. Причина этого проста: будучи изначально с единственным стеблем, этот стебель затем делится на два, затем от главного стебля ответвляется ещё один, затем первые два стебля снова разветвляются, затем все стебли, кроме двух последних, разветвляются, и так далее. Таким образом, каждый стебель после своего появления «пропускает» одно разветвление, а затем начинает делиться на каждом уровне разветвлений, что и даёт в результате числа Фибоначчи.

Вообще говоря, у многих цветов (например, лилий) число лепестков является тем или иным числом Фибоначчи.

Также в ботанике известно явление »филлотаксиса». В качестве примера можно привести расположение семечек подсолнуха: если посмотреть сверху на их расположение, то можно увидеть одновременно две серии спиралей (как бы наложенных друг на друга): одни закручены по часовой стрелке, другие — против. Оказывается, что число этих спиралей примерно совпадает с двумя последовательными числами Фибоначчи: 34 и 55 или 89 и 144. Аналогичные факты верны и для некоторых других цветов, а также для сосновых шишек, брокколи, ананасов, и т.д.

Для многих растений (по некоторым данным, для 90% из них) верен и такой интересный факт. Рассмотрим какой-нибудь лист, и будем спускаться от него вниз до тех пор, пока не достигнем листа, расположенного на стебле точно так же (т.е. направленного точно в ту же сторону). Попутно будем считать все листья, попадавшиеся нам (т.е. расположенные по высоте между стартовым листом и конечным), но расположенными по-другому. Нумеруя их, мы будем постепенно совершать витки вокруг стебля (поскольку листья расположены на стебле по спирали). В зависимости от того, совершать витки по часовой стрелке или против, будет получаться разное число витков. Но оказывается, что число витков, совершённых нами по часовой стрелке, число витков, совершённых против часовой стрелки, и число встреченных листьев образуют 3 последовательных числа Фибоначчи.

Впрочем, следует отметить, что есть и растения, для которых приведённые выше подсчёты дадут числа из совсем других последовательностей, поэтому нельзя сказать, что явление филлотаксиса является законом, — это скорее занимательная тенденция.

Спираль Фибоначчи – загадка природы (фото)

Математические науки не знают второй формы, способной сравниться своими свойствами со спиралью, получившей свои оригинальные свойства благодаря положенному в базис структуры Золотое сечение. Напомним, что формула имеет следующий вид: ( a + b )/ a = a / b.

Известный золотой прямоугольник приобрёл своё название именно в честь того, что он обладает как раз таким соотношением сторон — отношение его длинных сторон к меньшим равно 1,168:1.

Рисунок 4. Спираль Фибоначчи проявляется в природе – это загадка последовательности чисел знаменитого ряда Фибоначчи.

Одним из необыкновенных свойств золотого прямоугольника является то, что если от такой фигуры отделить квадрат, с большей стороной равной длине малой стороны прямоугольника, в результате будет получен ещё один золотой прямоугольник, но меньший по площади.

Причём эту операцию можно повторять постоянно, и каждый раз её итогом будет получение золотого прямоугольника ещё меньшего размера. Интересно, что расположение этих прямоугольников будет соответствовать логарифмической спирали, играющей ключевую роль в математических моделях объектов, которые вполне реально обнаружить в природе.

Обычно спиральную структуру наблюдают в закономерности позиций семян подсолнечника, структуре лепестков некоторых видов цветов, в необычной геометрии ракушек.

У подавляющего большинства улиток раковина обладает именно спиралевидной формой. Поскольку эти существа не обладают разумом, они не могут владеть элементарными математическими знаниями, достаточными для создания собственной раковины подобной формы. Многие учёные не могут точно определить причину, по которой эти моллюски сумели выбрать такую необычную форму существования.

Ясно здесь только, что подобное развитие не может считаться случайным стечением обстоятельств, и сама по себе подобная гипотеза будет выглядеть глупо. Это явно осознанное творение.

Спирали легко обнаружить и в теле человека — к такому примеру можно отнести человеческое ухо, внутренне ухо которого так же включает в себя орган, известный как «Улитка», предназначенный для превращения звуковой вибрации в нейронные сигналы. Схожая с костью, эта структура внутри заполнена жидкостью и внешне напоминает улитку, традиционно соответствующую золотым пропорциям.

Спирали также можно найти на ладонях и пальцах человека, элементарно сняв отпечатки.

В животном мире встретить огромное количество спиралевидных форм можно буквально повсюду — закрученные рога и бивни некоторых видов животных, когти и клювы некоторых видов птиц.

Форму спирали принимает и ураган, и лучше всего это можно наблюдать на снимках, сделанных орбитальной космической станцией, глядя, как скручиваются облака циклона.

В волнах, закручивающихся на морской или океанской глади, ясно виден математический график золотого сечения Фибоначчи в природе со значениями 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и 55. Не стоит так же забывать о водоворотах, или, по крайней мере, о воде, сливающейся в раковине в водосточную трубу.

Рисунок 5. Загадки спирали Фибоначчи в природе до сих пор не разгаданы.

К слову, золотое сечение угадывается даже в форме галактики.

Спираль заслуженно носит звание «Кривой жизни», ведь её причудливая форма имеет место и угадывается во многих областях. Это настоящий символ эволюции, ибо нет такого объекта, чьё развитие не двигалось бы по спирали.

Стратегии, основанные на числах Фибоначчи

Поскольку трейдеры выбирают на графиках цен локальные максимумы и минимумы, основываясь исключительно на своем опыте, торговля по уровням Фибоначчи является субъективной стратегией. Результаты торговли зависят от того, какие максимумы и минимумы будут выбраны на графике цены.

Нет гарантий того, что цена достигнет уровня или развернется на нем. Цена может легко пройти через несколько уровней или не достичь ни одного из них.

Поэтому коэффициенты Фибоначчи не должны быть единственным фактором, определяющим, покупать или продавать акции. При выработке торговых решений рекомендуется использовать уровни Фибоначчи вместе с другими индикаторами и методами технического анализа. Особенно хорошие результаты дают стратегии, основанные на волнах Эллиотта.

Как появились числа и их производные

Решая прикладную задачу, Леонардо наткнулся на любопытный ряд чисел Фибоначчи, вначале которого находятся две единицы.

Каждый последующий член – это сумма двух предыдущих. Самое любопытное, что числовой ряд Фибоначчи – примечательная последовательность тем, что если любой член поделить на предыдущий, то получится число, которое близко к 0,618. Этому числу дали имя «Золотое сечение».

Оказалось, что это число было известно человечеству очень давно. Например, в древнем Египте строили пирамиды с его использованием, а древние греки возводили по нему свои храмы. Леонардо да Винчи показал, как строение тела человека подчиняется этом числу.

Природа применяет числа из ряда Фибоначчи в своих наиболее сокровенных и продвинутых областях. От атомных структур и других мелких форм, как молекулы ДНК и микрокапилляры мозга до огромных, как планетарные орбиты и структуры галактик. Ряд примеров настолько велик, что следует утверждать, что в природе действительно присутствует некий основной закон пропорций.

Поэтому не удивительно, что ряд Фибоначчи и золотое сечение пробралось и на биржевые графики. И не одно число 0,618, но и его производные.

Если число золотого сечения возвести в первую, вторую, третью и четвертую степень и вычесть результат из единицы, то получиться новый ряд, который носит название «коэффициенты коррекции Фибоначчи». Осталось только добавить отметку пять десятых – это пятидесятипроцентная коррекция Чарльза Доу.

Однако, это не все, что можно сделать с золотым сечением. Если единицу разделить на 0,618 то получается 1,618, если возведем в квадрат, то у нас получится 2,618, если возведем в куб, то получим число 4,236. Это коэффициенты расширения Фибоначчи. Тут не хватает только числа 3,236, которое было предложено Джоном Мёрфи.

Тело человека и золотое сечение

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции.

Самая главная книга всех современных архитекторов справочник Э.Нойферта «Строительное проектирование» содержит основные расчеты параметров туловища человека, заключающие в себе золотую пропорцию.

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы:

M/m=1,618

Первый пример золотого сечения в строении тела человека: Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

* расстояние от кончиков пальцев до запястья до локтя равно 1:1.618;

* расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618;

* расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618;

* расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618;

* расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618;

* расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618;

* расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618:

Золотое сечение в чертах лица человека как критерий совершенной красоты.

В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально.

На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения. Приведем несколько таких соотношений:

* Высота лица / ширина лица;

* Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа;

* Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ;

* Ширина рта / ширина носа;

* Ширина носа / расстояние между ноздрями;

* Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.

Фибоначчиева система счисления

Теорема Цекендорфа утверждает, что любое натуральное число можно представить единственным образом в виде суммы чисел Фибоначчи:

где , , , (т.е. в записи нельзя использовать два соседних числа Фибоначчи).

Отсюда следует, что любое число можно однозначно записать в фибоначчиевой системе счисления, например:

причём ни в каком числе не могут идти две единицы подряд.

Нетрудно получить и правило прибавления единицы к числу в фибоначчиевой системе счисления: если младшая цифра равна 0, то её заменяем на 1, а если равна 1 (т.е. в конце стоит 01), то 01 заменяем на 10. Затем «исправляем» запись, последовательно исправляя везде 011 на 100. В результате за линейное время будет получена запись нового числа.

Перевод числа в фибоначчиеву систему счисления осуществляется простым «жадным» алгоритмом: просто перебираем числа Фибоначчи от больших к меньшим и, если некоторое , то входит в запись числа , и мы отнимаем от и продолжаем поиск.

Периодичность последовательности Фибоначчи по модулю

Рассмотрим последовательность Фибоначчи по некоторому модулю . Докажем, что она является периодичной, и причём период начинается с (т.е. предпериод содержит только ).

Докажем это от противного. Рассмотрим пар чисел Фибоначчи, взятых по модулю :

Поскольку по модулю может быть только различных пар, то среди этой последовательности найдётся как минимум две одинаковые пары. Это уже означает, что последовательность периодична.

Выберем теперь среди всех таких одинаковых пар две одинаковые пары с наименьшими номерами. Пусть это пары с некоторыми номерами и . Докажем, что . Действительно, в противном случае для них найдутся предыдущие пары и , которые, по свойству чисел Фибоначчи, также будут равны друг другу. Однако это противоречит тому, что мы выбрали совпадающие пары с наименьшими номерами, что и требовалось доказать.